Опис

Психолог, який володіє всебічними знаннями про психологічну реальність, має широкі можливості ефективно впливати на неї. Здобути такі знання з допомогою методології і методів лише гуманітарних наук неможливо. Щоб отримати об’єктивну її картину, потрібне вміння послуговуватися і математичними методами, інформаційними технологіями. Однак донині у вищій школі гострий дефіцит навчальних видань, які б комплексно розкривали теоретичні і прикладні аспекти цієї проблематики. Подолати його покликаний пропонований підручник. У ньому висвітлено сутність, призначення, способи застосування математичних методів у психології, зміст і способи формування вибірок, первинної обробки даних, підготовки статистичних висновків, специфіку дисперсійного, кореляційного, кластерного і факторного аналізу. Виклад матеріалу проілюстровано прикладами, рисунками, таблицями, зразками розв’язання вправ.
Адресований студентам вищих навчальних закладів. Прислужиться аспірантам, викладачам, а також психологам, які займаються теоретичними дослідженнями та психологічною практикою.

Зміст

1. Методологія застосування математичних методів у психології

1.1. Математичні методи у психології
Етапи математизації психологічної науки
Математичні методи у фундаментальних та прикладних психологічних дослідженнях
Математичні методи в емпіричних і теоретичних психологічних дослідженнях
Математичні методи у системі методів психології
1.2. Математичні методи в експериментальних психологічних дослідженнях
Застосування математичних методів в експериментальному дослідженні
Математичні методи і валідність експериментального дослідження
Експериментальні змінні та способи їх контролю
Типи вимірювань у психології
Стратегії формування вибірки
1.3. Експериментальні плани і математичні методи
Плани дійсного експерименту
Факторні плани
Квазіекспериментальні плани
Плани для одного випробовуваного
Плани кореляційного дослідження

2. Формування і первинна обробка вибірки

2.1. Технології формування вибірки
Проста рандомізована вибірка
Систематична рандомізована вибірка
Стратифікована (розшарована) вибірка
Кластерна (групова) вибірка
Спеціальні засоби формування вибірки
2.2. Математичні показники вибірки
Основні методи математичної статистики
Емпіричні розподіли частот
Міри центральної тенденції (МЦТ)
Міри мінливості (ММ)
Квантилі
Розрахунки та інтерпретація МЦТ і ММ
2.3. Елементи теорії ймовірностей
Випробування та події
Ймовірність події
Емпіричні розподіли ймовірностей
Теоретичні розподіли ймовірностей

3. Статистичні висновки

3.1. Статистичне оцінювання
Точкове оцінювання
Інтервальне оцінювання
3.2. Перевірка статистичних гіпотез
Характеристика статистичних гіпотез
Статистичні критерії
Правила прийняття статистичних рішень

4. Перевірка статистичних гіпотез на основі параметричних критеріїв

4.1. Класифікація завдань і методів їх розв’язання
4.2. Оцінювання відповідності емпіричного розподілу нормальному законові
Критерії асиметрії та ексцесу tAі tE
Критерій згоди Пірсона
4.3. Пряме оцінювання рівня величини середнього m
Критерій z (дисперсія відома)
Критерій Стьюдента t (дисперсія невідома)
4.4. Оцінювання істотності різниці середніх
Критерій Стьюдента t (незв’язані вибірки однакових обсягів)
Критерій Стьюдента t (незв’язані вибірки різних обсягів)
Критерій Стьюдента t (зв’язані вибірки)
4.5. Статистичні висновки щодо дисперсій
Критерій (оцінка рівня дисперсії сукупності)
Критерій Фішера F (істотність однорідності двох незв’язаних вибірок)
Критерій Стьюдента t (істотність однорідності двох зв’язаних вибірок)
Критерій Кохрана q (істотність однорідності трьох і більше вибірок однакових обсягів)
Критерій Бартлета M (істотність однорідності трьохі більше вибірок різних обсягів)

5. Методи дисперсійного аналізу

5.1. Можливості та обмеження методів дисперсійного аналізу
5.2. Методи однофакторного дисперсійного аналізу
Однофакторна модель (незв’язані вибірки однакових обсягів)
Однофакторна модель (незв’язані вибірки різних обсягів)
Однофакторна модель (зв’язані вибірки)
5.3. Методи двофакторного дисперсійного аналізу
Двофакторна модель (незв’язані вибірки)
Двофакторна модель (зв’язані вибірки)

6. Перевірка статистичних гіпотез на основі непараметричних критеріїв

6.1. Класифікація завдань і методів їх розв’язання
6.2. Виявлення відмінностей у рівні ознаки
Критерій Розенбаума Q
U-критерій Манна — Вітні
Критерій Крускала — Волліса Н
Критерій тенденцій Джонкіра S
6.3. Оцінювання вірогідності зсуву у значеннях ознаки
Критерій знаків G
Критерій Вілкоксона Т
Критерій Фрідмана
Критерій тенденцій Пейджа L
6.4. Виявлення відмінностей у розподілі ознаки
Критерій Пірсона
Критерій Колмогорова — Смирнова
6.5. Багатофункціональні критерії
Критерій Фішера
Біноміальний критерій m

7. Методи кореляційного аналізу

7.1. Поняття кореляції у психології і математиці
7.2. Моделі зв’язку у шкалах інтервалів і відношень
Коефіцієнт лінійної кореляції Пірсона rxy
Нелінійна кореляція
Дихотомічний коефіцієнт кореляції Пірсона
Тетрахоричний коефіцієнт кореляції rtet
7.3. Моделі зв’язку при порядкових вимірюваннях
Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена rs
Коефіцієнт кореляції
за наявності зв’язаних рангів
Коефіцієнт Кендалла
Коефіцієнт конкордації W
7.4. Моделі зв’язку при номінальних вимірюваннях
Коефіцієнт асоціації Ф
Коефіцієнт контингенції Юла Q
Коефіцієнти зв’язаності Чупрова і Пірсона
7.5. Моделі зв’язку за різних типів вимірювань
Точково-бісеріальний коефіцієнт кореляції rpb
Рангово-бісеріальний коефіцієнт кореляції rrb
Бісеріальний коефіцієнт кореляції rbis

8. Математичні методи прогнозування

8.1. Регресія як засіб прогнозування
8.2. Лінійні моделі регресії
Одномірна лінійна регресія
Множинна лінійна регресія
8.3. Трендові моделі розвитку
Типи та властивості моделей розвитку
Лінійні поліноміальні моделі
Нелінійні поліноміальні моделі
Моделі експоненціального типу

9. Багатомірні методи

9.1. Кластерний аналіз
Cутність та методи кластеризації
Кластерний аналіз у пакеті Statistica
9.2. Факторний аналіз
Сутність та методи факторного аналізу
Факторний аналіз у пакеті Statistica

Тестові завдання
Відповіді на тестові завдання
Додатки
Література

Уривок із підручника (“Математичні методи в психології” Руденко В. М., Руденко Н. М.) надано виключно для ознайомлення.
Копіювання будь-якої частини без погодження з видавництвами заборонено.

1. Методологія застосування математичних методів у психології

1.1. Математичні методи у психології

Етапи математизації психологічної науки

Оснащеність наукового дослідження адекватними математичними методами, тобто рівень його математизації, свідчить про інноваційний характер певної наукової галузі у сучасних умовах.
На першому етапі здійснюють кількісну обробку первинного емпіричного матеріалу. Основна мета цього етапу — узагальнення інформації для представлення її у компактному вигляді (емпіричних класифікацій, узагальнень, статистичних тенденцій, варіативностей, кореляцій та ін.). Їхній кількісний опис зумовлює подальше пояснення і прогноз у межах теоретичної схеми. На цьому етапі математичні методи виступають складовою емпіричного пізнання і не мають самостійного значення у розгортанні теоретичних систем.
Змістом другого етапу математизації є розроблення й емпірична перевірка часткових математичних моделей, які пояснюють і прогнозують «поведінку» досліджуваного об’єкта в певних ситуаціях за певних умов. Ці моделі — формально-логічні системи, що забезпечують отримання дедуктивним шляхом наслідків, які важко або неможливо отримати без використання математики.
На третьому етапі створюють загальну математичну модель, яка повністю описує різні стани, у яких може перебувати досліджуваний об’єкт. Наприклад, математична теорія навчання Естета (W. Estes), за допомогою якої можна отримати декілька різних моделей (одноелементну модель, лінійну модель і т. д.).
Етапи математизації відповідають трьом стадіям теоретизування науки: емпіричній, перехідній, теоретичній. На цих стадіях спостерігають якісні перетворення наукового знання: від спостережуваних даних до теоретичних конструктів; від емпіричних класифікацій до теоретичних типологій; від описових теорій і первинних концептуалізацій до пояснювальних і прогнозуючих теорій; від емпіричних законів до законів теоретичних.
Щодо цих стадій застосовують різні математичні методи. Емпіричній стадії науки відповідає перший етап математизації (аналіз даних, які отримані на основі первинного осмислення). Перехідну стадію теоретизування науки зіставляють з другим етапом математизації — розробленням «часткових» математичних моделей. Стадію розвиненої теоретичної науки — з третім етапом, тобто побудовою «загальних» математичних моделей.
Ці етапи математизації можна виявляти, аналізуючи існуючі типи застосування математики в сучасній психологічній науці. Так, з метою формалізації опису психологічних процесів людської поведінки Кларк Халл розробляв математичну теорію научіння. Курт Левін запроваджував векторно-топологічні поняття-аналоги відомих психологічних фактів. У «знаковій моделі» Джемса пов’язані самоповага індивіда з його успіхом і рівнями домагань. Особливістю цих математичних підходів є описове застосування математики як зручного засобу для виразу змістовних ідей без спроб застосування математичної дедукції з метою прогнозування поведінки.
Упровадженню математичних методів у психологію сприяли теорія ймовірностей і математична статистика, за допомогою яких розв’язують проблеми ймовірнісного аналізу особистісних рис, здібностей та поведінки. Прикладами є «Політична арифметика» В. Петті (середина XVII ст.), «Досвід моральної арифметики» Ж. Бюффона (кінець XVIII ст.), «Людина і розвиток її здібностей або досвід суспільної фізики» А. Кетле (середина ХІХ ст.) тощо.
Залучення цих методів стимулювала не внутрішня логіка розвитку наукових психологічних ідей, а суб’єктивне бажання математиків застосувати ймовірнісно-статистичні методи до гуманітарно-соціальних явищ на основі здорового глузду. Із XX ст. починають цілеспрямовано розробляти й ефективно використовувати статистичні методи для аналізу емпіричних даних (при вимірюванні, перевірці причинно-наслідкових гіпотез і т. д.).

Математичні методи у фундаментальних та прикладних психологічних дослідженнях

Усі наукові дослідження поділяють на фундаментальні й прикладні. Фундаментальні дослідження спрямовані на пізнання реальності без урахування безпосередньо практичного ефекту від застосування їх результатів. Прикладні дослідження проводять з метою отримання і використання нового знання для розв’язання завдань. Оскільки цілі і завдання фундаментальних і прикладних досліджень у психології відмінні, відрізняються і застосування математичних методів у двох типах досліджень.
На сучасному етапі розвитку психологічної науки для неї характерний високий рівень диференціації, внаслідок чого з’являються нові галузі психології. Наприклад, у межах психології спілкування, психології малих груп, психології особистості розробляють описові й пояснювальні теорії, досліджують специфічні й окремі механізми поведінки.
Разом з диференціацією відбувається процес інтеграції наук, тобто виникають нові прикладні дисципліни (наприклад, психологія праці, інженерна психологія, психологія прийняття рішень). Їх особливістю є дослідження результату певної людської діяльності. За цих умов основна мета зміщується з пояснення психологічних механізмів на прогнозування результатів психологічної ситуації.
Оскільки теорії виступають вищими формами наукового знання, відповідно їх класифікують на описові, пояснювальні, прогнозування, управління та планування. Проте в науці немає «чистих» типів теорій, тобто описові теорії можуть мати водночас статус пояснювальної і такої, що передбачає. Відповідно і математичні методи, і математичні моделі змістовних теорій, спрямовані на пояснення деякого феномену, як правило, виконують прогнозування.
Адекватний прогноз можна здійснити без пояснювальної теорії або моделі. Прикладом статистичної моделі прогнозування є регресійний аналіз і канонічна кореляція, параметри яких перебувають від впливом неврахованих змінних. У кореляційних дослідженнях, що виявляють лише статистичні зв’язки, ставлять завдання спрогнозувати можливості вимірюваних психологічних характеристик індивіда або групи.
Застосовують математичні методи і у прикладній психології. Наприклад, професійний відбір здійснюють, вимірюючи деякі особистісні характеристики службовців із наступним розв’язанням відповідних регресійних рівнянь. Шляхом статистичного аналізу можна отримати значення таких критеріальних змінних, як виробнича задоволеність, ефективність тощо, проте механізм взаємозв’язку залежних і незалежних змінних не пояснено.
Розробляють фундаментальні теорії шляхом застосування математичних моделей, що досліджують об’єкти як відносно прості системи. Ефективне прогнозування реалізують або при використанні статистичних моделей типу моделей дискримінантного і регресійного аналізу, або методи імітаційного моделювання, які поєднують пояснювальні і прогностичні функції.
У прикладних дослідженнях застосування статистичних моделей прогнозу (регресійний, дискримінантний аналіз) комбінують з іншими методами багатомірного статистичного аналізу (факторним, компонентним, кластерним). Так, перед використанням багатомірного регресійного аналізу з метою прогнозування рекомендовано провести факторний аналіз, щоб зменшити кількість початкових змінних; виявити змінні, що корелюють і знижують точність прогнозу.
Методи багатомірного статистичного аналізу використовують у фундаментальних дослідженнях, вимірюючи латентні змінні на основі кореляції спостережуваних змінних. У прикладних дослідженнях застосування цих методів найчастіше пов’язане з розв’язанням задач класифікації об’єктів.

Математичні методи в емпіричних і теоретичних психологічних дослідженнях

У психології розрізняють емпіричні і теоретичні дослідження. Емпіричні дослідження проводять із самим об’єктом для перевірки правильності теоретичних побудов. Теоретичні дослідження пов’язані не із реальністю, а з її знаково-символічним або просторово-образним аналогом, тобто формулами, моделями, схемами. Проте не існує строгих критеріїв відмінності між емпіричними і теоретичними дослідженнями, їх розмежовують умовно. Як правило, більшість наукових досліджень має теоретико-емпіричний характер.
У будь-якому емпіричному (пов’язаному зі збором і аналізом даних) дослідженні послуговуються математичними методами. У теоретичних дослідженнях також використовують математичні засоби для з’єднання своїх структур (конструктів, гіпотез, типологій тощо) з емпіричними даними (результатами спостережень, вимірювань, експериментів тощо).

Математичні методи — засоби створення математичних моделей, які описують і пояснюють функціонування певного психічного процесу.

Існують три основні види математичного моделювання.
1. Аналітичне моделювання. Існує у вигляді алгебраїчних, інтегро-диференціальних, кінцево-різницевих та інших рівнянь або логічних умов. Розрізняють власне аналітичне моделювання у вигляді явних залежностей для шуканих характеристик; числове — як числові результати для окремих конкретних умов; якісне — деякі властивості цього розв’язання (його стійкість, значущість).
2. Імітаційне моделювання. Воно дає змогу за вихідними даними отримувати інформацію про стан процесу у визначені моменти часу або стан системи у цілому.
3. Комбіноване моделювання. Такий вид моделювання об’єднує переваги аналітичного й імітаційного моделювання.
Ці види можна класифікувати на стохастичні і детерміновані, статичні і динамічні, дискретні і безперервні.
Стохастичне моделювання відображає ймовірнісну природу процесів і явищ, особливо в соціально-психологічних дослідженнях. Цим моделям притаманні певні ймовірнісні характеристики (вірогідність, рівень значущості тощо).
На відміну від стохастичного детерміноване моделювання характеризується однозначністю, коли за певних вхідних умов на виході моделі існує конкретний (як правило, єдиний) результат.
За допомогою статичного моделювання здійснюють опис поведінки об’єкта у певний фіксований момент часу.
Динамічне моделювання уможливлює вивчення динаміки розвитку поведінки об’єкта протягом певного часу.
Дискретне моделювання передбачає дослідження процесів і явищ, параметри яких можуть набувати лише дискретних значень.
Зв’язок величин у будь-якому безперервному діапазоні значення здійснюють шляхом безперервного моделювання.
Математичні методи у психології також умовно поділяють на два основні класи відповідно до двох типів математичних моделей: моделей вимірювання і моделей структур та процесів (С. Паповян), які можуть належати як до теоретичних, так і до емпіричних структур (рис. 1.1).

Теоретичні описові моделі є формалізацією описової теорії. Їх аналіз може зумовлювати змістовні твердження на основі дедукції та ізоморфізму між теорією і відповідною математичною структурою. Прикладом теоретичної описової моделі є «теорія поля» Курта Левіна, у якій для опису поведінки індивідів і груп автор запровадив декілька векторно-топологічних понять («зв’язність», «енергія», «напруга», «валентність» і т. д.). Проте у математичних підрахунках Левін ігнорує форми, розмір, відстань та інші характеристики, лише описуючи, оскільки за їх допомогою не можливо пояснити або спрогнозувати поведінку.
На основі математичної дедукції побудовані пояснювальні гіпотетико-дедуктивні моделі, коли формулюють твердження про взаємозв’язок змінних. Внаслідок цього виникає математична гіпотеза, яка потребує емпіричної перевірки. Якщо перевірка дає позитивні результати, збільшується вірогідність істинності тих постулатів, на яких ґрунтується теорія.
Пояснювальні аксіоматичні моделі — перелік аксіом, яким повинні відповідати емпіричні дані. За допомогою них доводять теореми, що встановлюють існування й одиничність відповідних числових представлень. Якщо аксіоми задовольняються, то правильними вважають й усі подальші висновки (теореми).
Відмінність аксіоматичних моделей від гіпотетико-дедуктивних полягає в тому, що аксіоми перевіряють емпірично як початкові постулати (аксіоми), а гіпотези — як висновок з початкових постулатів (гіпотези). Обов’язковою умовою є процедура перевірки гіпотез.
Емпіричні математичні моделі характеризуються тим, що емпіричні дані слугують не стільки для перевірки гіпотез, скільки для розробки моделі. Після того як модель сформована і підтверджена її емпірична адекватність, вона може індуктивним шляхом сприяти висуненню теоретичних гіпотез.
Застосовуючи кількісні емпіричні узагальнення, описують деяку емпіричну закономірність, зв’язок між змінними. Закономірності такого типу мають винятково описовий характер і пояснюють феномен, який сприятиме виникненню гіпотез, що обґрунтовують емпіричні дані.
За допомогою прогнозуючих емпіричних моделей передбачають значення деякого зовнішнього критерію. На їх основі можуть розробляти пояснювальні моделі.
У практиці соціально-психологічних досліджень переважають індексні моделі вимірювання. До цього класу належать тести особистості, шкали рейтингу, факторний аналіз.
Для цілей прогнозу можуть бути використані моделі статистичного аналізу (регресійний, дисперсійний, коваріаційний, кореляційний, дискримінантний аналіз). Елементарним аналогом таких статистичних моделей, що описують зв’язки залежних і незалежних змінних, є процедури апроксимації емпіричних даних, інтерполяції та екстраполяції.
Із погляду рівня математизації і залучення математичного апарату у психологічних дослідженнях розрізняють такі теорії:
а) якісні, які побудовані без залучення математичного апарату (наприклад, концепція мотивації А. Маслоу);
б) формалізовані, у структурі яких використовують математичний апарат (теорія інтелекту Ж. Піаже, теорія особистісних конструктів Дж. Келлі);
в) формальні, що побудовані як повноцінні математичні теорії (моделі) (наприклад, стохастична теорія тесту
Д. Раша IRT, що широко використовується у процесі психолого-педагогічного тестування).
Роль і місце математичних методів і відповідних моделей у процесі розроблення і перевірки теорії, пояснення і прогнозу емпіричних даних ілюструє схема процесу наукового дослідження (рис. 1.2).

На методологічних принципах і (або) емпіричних узагальненнях (якісних і кількісних) стосовно досліджуваної реальності (феномену) сформульована теоретична концепція феномену (теорія), або спочатку формалізувати теорію, отримавши математичну модель (1), потім дедуктивним шляхом з неї сформулювати змістовну гіпотезу для її емпіричної перевірки; або на основі винятково (вербальних) логічних міркувань сформулювати змістовну гіпотезу (2).
У будь-якому разі для підтвердження чи спростування змістовної гіпотези необхідно здійснити перехід до статистичної гіпотези, тобто безпосереднього застосування математичних методів (статистичного оцінювання, перевірки статистичних гіпотез). Отже, існують дві основні функції використання математичних методів: і як інструменту розроблення та удосконалення змістовно сформульованих гіпотез і як засобу подальшого їх підтвердження або спростування. Після процедури статистичних висновків гіпотеза може стати науковим знанням, яке володіє прогностичними функціями.