Опис

Інтенсивний антропогенний вплив на довкілля поставив людство перед необхідністю збереження природних систем, запобігання їх руйнуванню. Одна з передумов цього — моделювання і прогнозування спричинених людською життєдіяльністю процесів у природі. Використання з цією метою розкритих у пропонованому підручнику математичних та імітаційних методів моделювання і прогнозування конкретизує розуміння усього, що відбувається і може відбутися у водних системах, атмосфері, ґрунтах, рослинному середовищі, наслідків людського втручання в них, прагматизує оцінки і висновки, допомагає знаходити оптимальні технічні, технологічні, організаційні природоохоронні рішення.
Підручник адресований студентам вищих навчальних закладів, які опановують природоохоронні спеціальності і суміжні з екологією сфери знань. Прислужиться фахівцям, які займаються екологічною політикою, аналізом явищ, тенденцій у соціальній, природній сферах та ін.

Зміст

1. Основні засади математичного моделювання і прогнозування в екології

1.1. Біосфера і проблема охорони навколишнього природного середовища
1.2. Екологічний підхід до вивчення довкілля за інтенсивного антропогенного впливу
1.3. Основні принципи математичного та імітаційного моделювання
1.4. Системний підхід до побудови математичних моделей
1.5. Теоретико-методологічні засади прогнозування

2. Елементарні функції та їх застосування в екології

2.1. Змінна величина і функція
Сутність і використання в екології змінних величин і функцій
Способи задання функцій
2.2. Лінійна функціональна залежність
Лінійна функція, її графік
Застосування в екології лінійної функції
2.3. Пряма і обернена пропорціональні залежності
Формули, графіки прямої і оберненої пропорціональних залежностей
2.4. Дробово-лінійна функція. Рівняння Міхаеліса—Ментен
Означення і формула дробово-лінійної функції
Рівняння Міхаеліса—Ментен
2.5. Степенева функція
Означення, формула і графіки степеневої функції
Застосування степеневої функції в екології
2.6. Показникова і логарифмічна функції
Означення, формули і графіки показникової та логарифмічної функцій
Приклади застосування в екології показникової і логарифмічної функцій
2.7. Тригонометричні функції
Означення та графіки тригонометричних функцій
Основні співвідношення тригонометричних функцій
Застосування тригонометричних функцій до моделювання періодичних процесів
2.8. Побудова емпіричних формул, метод найменших квадратів
Постановка задачі, побудова емпіричної формули графічним методом
Побудова емпіричної формули методом найменших квадратів для моделювання лінійних процесів
Побудова емпіричної формули методом найменших квадратів для моделювання нелінійних процесів
Метод середніх величин

3. Застосування диференціальних рівнянь при моделюванні екологічних процесів

3.1. Похідна, її застосування при вивченні законів природи. Операції диференціювання та інтегрування
Задачі, що допомагають усвідомити роль похідна
Означення похідної та невизначеного інтеграла
Приклади застосування похідної при моделюванні біологічних, хімічних і фізичних процесів
Знаходження невідомих параметрів під час верифікації математичних моделей
3.2. Загальні принципи моделювання екологічних систем за допомогою диференціальних рівнянь, стаціонарні розв’язки та їх стійкість
Загальний вигляд математичної моделі
Стійкість стаціонарних розв’язків
3.3. Моделювання динаміки чисельності окремих популяцій
Експоненціальний закон
Логістичне рівняння
3.4. «Жорсткі» та «м’які» математичні моделі динаміки популяцій
Дослідження найпростіших моделей
Оптимізація параметрів для «жорстких» і «м’яких» моделей
3.5. Динаміка біоценозів як наслідок міжвидових відносин
Основні типи відносин між різними видами
Математичні моделі популяцій при відносинах «хижак — жертва»
Структура трофічної функції
3.6. Моделювання трофічного ланцюга
Концептуальна модель трофічного ланцюга
Математична модель трофічного ланцюга
Математичні моделі спрощеного трофічного ланцюга водної екосистеми
3.7. Моделювання динаміки риб і їх паразитів в умовах токсичного забруднення водного середовища
Актуальність проблеми моделювання процесу захворювання популяції риб
Побудова простих моделей
Побудова складних моделей
3.8. Кількісна оцінка екологічної ємності і самоочисної здатності біосфери

4. Моделювання гідроекологічних процесів і функціонування водних екосистем

4.1. Основні принципи та особливості математичного моделювання гідроекологічних процесів
Особливості водних екосистем
Основні завдання гідроекології
4.2. Моделювання абіотичних процесів. Математичні моделі водного і гідрохімічного режимів
Концептуальна модель водного і гідрохімічного режимів
Побудова просторової і багатокамерної моделей
Приклади числових розрахунків концентрації речовини-забруднювача
Побудова трикомпонентної імітаційної моделі
Моделювання процесів забруднення підземних вод
4.3. Математичні моделі динаміки РК і БПК
Модель Фелпса—Стрітера
Багатокамерна двокомпонентна модель
4.4. Визначення невідомих параметрів моделі
Визначення сталої неконсервативності
Визначення концентрації насичення
Емпіричні формули для визначення коефіцієнта аерації
Модель Фелпса—Стрітера для відкритих систем
4.5. Модель динаміки органічної речовини і розчиненого кисню з урахуванням розбавлення і водообміну
Побудова математичної моделі
Побудова алгоритму і проведення імітаційного експерименту

5. Математичне моделювання і прогнозування забруднення атмосфери

5.1. Постановка задачі розрахунку поширення атмосферних домішок
Рівняння балансу для будь-якої субстанції
Рівняння балансу атмосферних домішок
Початкові і граничні умови
Вплив орографії на поширення домішки від джерела
5.2. Поширення пасивних атмосферних домішок від миттєвих джерел при постійному коефіцієнті турбулентності
Рівняння балансу атмосферних домішок при стаціонарних процесах з постійним напрямком вітру
Розв’язок рівняння балансу атмосферних домішок за стаціонарних процесів для приграничного шару атмосфери
5.3. Чисельне моделювання процесів забруднення атмосфери великих міст і їх впливу на термічний режим атмосфери
5.4. Фізичні основи прогнозування забруднення повітря
5.5. Чисельне прогнозування концентрації шкідливої домішки за допомогою дифузійної моделі
Основні закономірності розповсюдження домішок у атмосфері
Прогноз максимальної концентрації за дифузійною моделлю
Прогноз концентрації шкідливої домішки по гаусовій моделі
5.6. Визначення забруднення повітря у містах
Інтегральні показники забруднення повітря у місті
Вплив мікрометеорологічних умов у місті на рівень забруднення атмосфери
Вплив синоптичних умов на забруднення атмосфери
5.7. Прогнозування метеорологічних умов забруднення атмосфери
Методика прогнозування метеорологічних умов забруднення (МУЗ)
Прогнозування забруднення повітря методом лінійного регресійного аналізу
Прогнозування забруднення повітря за методом розпізнавання образів
Метод послідовної графічної регресії
5.8. Оцінювання ефективності методів прогнозування забруднення повітря
5.9. Організація робіт з прогнозування забруднення повітря

6. Математичне моделювання і прогнозування забруднення ґрунтового та рослинного середовищ

6.1. Моделювання основних процесів життєдіяльності рослин
6.2. Моделювання міграції радіонуклідів в агроценозах
Системний підхід до вивчення процесів міграції радіонуклідів в агроценозах
Моделювання вертикальної міграції радіонуклідів у профілі ґрунту
Моделі міграції радіонуклідів у системі «ґрунт — рослина»
Моделювання міграції радіонуклідів харчовими ланцюгами
Моделювання транспорту радіонуклідів в агросфері
6.3. Математичне моделювання процесу поглинання важких металів ґрунтом і рослинами
Основні характеристики ґрунту, які обумовлюють поглинання важких металів
Морфологічні характеристики рослин, які обумовлюють швидкість поглинання важких металів
Розрахунок швидкості поглинання та міграції важких металів у ґрунті і рослинах та коефіцієнта токсичності важких металів для рослин
6.4. Математичне моделювання впливу осолонцювання та засолення ґрунту на розвиток рослин
Моделювання впливу осолонцювання ґрунту на ріст і розвиток рослин та їх екологічну чистоту
Моделювання впливу засолення ґрунту на ріст і розвиток рослин та їх екологічну чистоту
6.5. Визначення виносу біогенних елементів з сільськогосподарських угідь
Класифікація та характеристики біогенних елементів
Розрахунок виносу біогенних елементів із сільськогосподарських угідь

7. Математичні моделі просторово розподілених екосистем

7.1. Загальний вигляд математичної моделі динамічної системи з розподіленими характеристиками
7.2. Побудова моделей масопереносу в нерухомому та рухомому середовищах
7.3. Одновимірні моделі розповсюдження речовини в нерухомому середовищі
Стаціонарна модель молекулярної дифузії без джерел і перетворень
Нестаціонарна молекулярна дифузія консервативних речовин
Стаціонарна модель молекулярної дифузії з процесами перетворення речовини
Нестаціонарна молекулярна дифузія неконсервативних речовин
7.4. Одновимірні моделі розповсюдження речовини в рухомому середовищі
Стаціонарна модель конвективної дифузії без джерел і перетворень
Стаціонарна модель конвективної дифузії неконсервативних речовин
Нестаціонарна конвективна дифузія неконсервативних речовин
7.5. Дослідження процесу біологічного очищення стічних вод за допомогою математичного моделювання
Побудова концептуальної і математичної моделей
Верифікація математичної моделі
Проведення імітаційного експерименту

8. Імітаційне математичне моделювання і проблеми гідроекологічного моніторингу

8.1. Пріоритетні напрями в екології
8.2. Методологічні основи створення природоохоронної геоінформаційної системи
8.3. Наукові основи гідроекологічного моніторингу
8.4. Інформаційно-експертна система оцінювання стану водних об’єктів — основний елемент гідроекологічного моніторингу
8.5. Імітаційне математичне моделювання як складова інформаційно-експертної системи

Термінологічний словник
Література

Уривок із підручника (“Моделювання і прогнозування стану довкілля” Лаврик В. І.) надано виключно для ознайомлення.
Копіювання будь-якої частини без погодження з видавництвами заборонено.

1. Основні засади математичного моделювання і прогнозування в екології

Розв’язання важливих проблем екології неможливе без знання основних положень і методів екологічної науки, які створюються і розвиваються на основі сучасної методології, зокрема основних положень системного аналізу, математичних методів і методів математичного та імітаційного моделювання.

1.1. Біосфера і проблема охорони навколишнього природного середовища

Глобальною проблемою людської цивілізації, яка постала перед людством в другій половині XX ст., є охорона навколишнього середовища (довкілля) — води, повітря, ґрунту і всього живого на Землі, тобто збереження екологічної рівноваги біосфери.

Біосфера (грец. bios — життя і sphaira — куля) — оболонка земної кулі, склад, структура і енергетика якої істотно зумовлені минулою або сучасною діяльністю живих організмів.

Посилення впливу людської діяльності (антропогенного впливу), зумовленого зростанням технічної та енергетичної озброєності людства, призводить до дедалі помітніших змін стану біосфери, більшість із яких негативно впливають на все живе. Тому проблема охорони довкілля безпосередньо пов’язана не тільки із забезпеченням нормальних умов життя людей, а й з розвитком різноманітних природних систем (екосистем), що існують на Землі.

Екосистема (грец. oikos — дім, середовище і systema — утворення) — функціональна природна система, утворена живими організмами та середовищем їхнього існування.

Охорона навколишнього природного середовища, або збереження екологічної рівноваги біосфери є запорукою майбутнього існування людства.
В останні десятиріччя внаслідок швидкого зростання кількості населення, бурхливого розвитку промисловості та інтенсифікації сільського господарства відбуваються помітні зміни важливих для всього живого параметрів (характеристик) біосфер. Антропогенний вплив на біосферу зумовлює порушення екологічної рівноваги як в окремих регіонах, так і на планеті. Інтенсивне збільшення кількості населення на Землі, виснаження природних ресурсів, руйнування й забруднення навколишнього середовища призводять до наслідків, які можуть загрожувати життю людства.
З усіх видів забруднень найбільшої шкоди завдає забруднення природних вод. Численні тверді шкідливі речовини можуть у вигляді зависі чи розчину за допомогою річок, озер, каналів, морів і океанів переноситися на великі відстані від місць скидів, тобто від джерел забруднення. Вода містить відносно невелику кількість розчиненого кисню, що належить до основних лімітуючих факторів для більшості водних організмів, які заселяють прісні і солоні водоймища. Навіть помітно забруднене повітря зберігає, за незначним винятком, квазіпостійну концентрацію кисню, а концентрація кисню у воді може істотно зменшуватися при забрудненні органічними речовинами. Негативний вплив на якість води справляє теплове забруднення, яке виникає внаслідок скиду у водоймища теплих вод зі ставків-охолоджувачів електростанцій. Підігрівання води знижує вміст кисню у природних водах.
Отже, проблема відносин людини і природи є багатоплановою. У ній можна виокремити такі основні аспекти: технічно-економічний, що пов’язаний із використанням і виснаженням природних ресурсів; екологічний, зумовлений забрудненням довкілля і станом екосистем; соціально-політичний, спричинений тим, що забруднення і деградації (руйнування) стосуються інтересів усіх держав і народів.

1.2. Екологічний підхід до вивчення довкілля за інтенсивного антропогенного впливу

Людство завжди контактувало з довкіллям. У первісному суспільстві кожний індивід, щоб вижити, повинен був володіти певними знаннями про навколишній світ, сили природи, флору і фауну, що його оточували. Праці Гіппократа, Арістотеля та інших давньогрецьких філософів уже містили відомості екологічного характеру. Термін «екологія» запропонував німецький біолог Ернст Геккел (1834—1919), який розглядав екологію як суму знань, що стосуються економіки природи: вивчення всієї сукупності відносин тварини з навколишнім середовищем, як органічним, так і неорганічним, і передусім — її дружніх і ворожих сто-
сунків з тими тваринами і рослинами, з якими вона, безпосередньо чи опосередковано, вступає в контакт. Екологія — це вивчення всіх складних відносин у природі, які Дарвін називав умовами, що породжують боротьбу за існування. Як самостійна наука екологія сформувалася до 1900 р., та лише наприкінці ХХ ст. набула особ-
ливої актуальності. До її становлення і розвитку доклалися генетики, фізіологи, математики, агрономи, тваринники, географи, економісти.

Екологія (грец. oikos — оселя, середовище і logos — слово, вчення) — наука про зв’язки організмів і їх угруповань між собою і з навколишнім середовищем.

Багато дослідників, педагогів, інженерів займається екологією, але проблеми, якими цікавляться біологи, за змістом відрізняються від проблем, що розглядають соціологи, економісти, юристи, географи, геофізики, математики та ін. Екологія розвивається у двох основних напрямах. Прихильники першого досліджують природу без урахування діяльності людини, представники іншого вважають людину з її діяльністю сферою екологічних досліджень. В останні десятиліття у зв’язку зі швидким зростанням кількості досліджень у галузі екології змінюється погляд на неї як біологічну науку. Дедалі більшу роль у змінах, що спостерігаються в екосистемах і біосфері загалом, починають відігравати антропогенні впливи, тому людину не можна виключати з поля зору екологічних досліджень.
Предметом екології є вивчення зв’язків між організмами та навколишнім середовищем у процесі еволюції. Такі зв’язки формуються в біосфері. Цей термін у 1875 р. запровадив австрійський геолог Едуард Зюсс (Suess) (1831—1914). У 1926 р. український академік Володимир Вернадський запропонував цей термін для широкого користування, визначавши біосферу як сферу існування живої речовини.
Різноманіття середовищ і складових біосфери, асиметрія її структури зумовили появу численних еволюційних зв’язків. Це, в свою чергу, зумовило генезис (розвиток) великої кількості видів тварин (до 1 млн) і рослин (до 0,5 млн). Незважаючи на нерівномірність розподілу основних складових біосфери та вияву їх властивостей, вони формують дуже складну, але гармонійну систему. Це дає змогу вивчати складні зв’язки і структури (системи) біосфери, встановлювати закономірності у взаємодіях між її елементами, живими організмами та середовищем їх існування, з’ясовувати можливість математичного моделювання і прогнозування різних видів взаємодій між складовими біосфери, елементами екосистем у процесі їх еволюції.
У будові біосфери можна встановити певні структури. Наприклад, конкретні угруповання мікроорганізмів, рослин і тварин утворюються за певних умов навколишнього середовища. Кожне таке угруповання організмів має високий рівень організації відносин і зв’язків між окремими особами, популяціями і видами.

Біоценоз (грец. bios — життя і koinos — загальний) — сукупність мікроорганізмів, рослин і тварин, які заселяють визначену територію з приблизно однаковими умовами існування.

Будь-який біоценоз розвивається в просторі на певному неорганічному субстраті (основі, предметі, речовині).

Біотоп (грец. bios — життя, topos — місце) — ділянка абіотичного середовища, яку займає біоценоз.

Біотоп характеризується певним поєднанням абіотичних факторів, до яких належать: географічні умови, сонячна енергія (радіація), вітер, температура, течія у водному середовищі, мінеральні речовини (вода, вуглець, кисень, кальцій, нітрати, фосфати та ін.). Отже, кожен біотоп є фізичною основою біоценозу.
Сукупність специфічного фізико-хімічного оточення (біотоп) з угрупованням живих організмів (біоценоз) утворюють екосистему:
екосистема = біотоп + біоценоз.
Біотоп і біоценоз взаємно впливають один на одного, що виявляється у неперервному обміні енергією і речовиною як між двома складовими, так і всередині кожної з них.
Термін «біоценоз» було пізніше розширено в поняття «біогеоценоз» (В. Сукачов, 1942).

Біогеоценоз (грец. bios — життя, geo — земля, koinos — загальний) — сукупність взаємообумовлених живих і неживих компонентів на певній ділянці земної поверхні, пов’язаних між собою обміном речовини і енергії.

В останні десятиріччя триває дискусія про співвідношення між поняттями «біогеоценоз» і «екосистема», часто їх розглядають як синоніми.
Головне значення поняття «екосистема» для екологічної науки полягає в тому, що воно наголошує на обов’язковій наявності взаємозалежностей і причинних зв’язків, тобто об’єднання компонентів екосистеми у функціональне ціле. Елементарні фрагменти біосфери повинні мати такі ознаки:
1) стійкість та автономність, здатність до саморегуляції і збереження життєвих процесів;
2) неможливість приєднання до них інших фрагментів або їх частин без порушення якісної однорідності фрагмента. Саме такими властивостями наділені екосистеми.
Оскільки частини функціонально невіддільні від цілого, то екосистема є найпридатнішим для вивчення методами системного аналізу та математичного моделювання елементом біосфери.

1.3. Основні принципи математичного та імітаційного моделювання

При розробленні і застосуванні математичних та імітаційних моделей для вивчення різноманітних природних систем і процесів, зокрема закономірностей розвитку живих систем та окремих організмів і популяцій, керуються загальними принципами і методами математичного моделювання і прогнозування.
Однією з основних складових наукової методології дослідження природи є побудова та використання різних моделей (лат. modulus — зразок) — зображень (уявлень, понять) об’єкта, процесу або системи в певній формі, що відрізняється від форми їх реального існування.
Люди завжди використовували концепцію моделі, прагнули за її допомогою уявити і виразити як абстрактні поняття (ідеї), так і реальні об’єкти (явища). Формування поняття «модель» та розроблення різних моделей завжди відігравали значну роль у духовній, культурній та практичній діяльності суспільства, особливо з тих часів, коли воно почало прагнути до розуміння процесів і явищ, що відбуваються в навколишньому природному середовищі.
Ефективними формами моделювання є математичне та імітаційне моделювання, які відображають найістотніші особливості реальних об’єктів, процесів, явищ і систем, що вивчаються різними науками, в т. ч. біологією та екологією.

Математичне моделювання — метод дослідження явищ, процесів або систем шляхом вивчення їх математичних моделей (тобто сукупності рівнянь, які описують об’єкт дослідження).

Створити математичну модель реального процесу або явища в повному розумінні цього поняття не завжди вдається, тобто не завжди можливо строго математично описати реальний об’єкт, процес, явище, тобто реальну систему. Подолати цю проблему допомагає імітаційне моделювання.

Імітаційне (лат. imitatio — наслідування) моделювання — метод вивчення складних систем шляхом дослідження їх математичних моделей за допомогою комп’ютера.

Імітуючи різні умови функціонування систем шляхом зміни значень коефіцієнтів у рівняннях, визначають величини, що характеризують поведінку систем. Будуючи математичну модель, насамперед потрібно пам’ятати, що це можливо тільки за допомогою певних, кількісно строго визначених величин, які в процесі дослідження можуть змінюватись або залишатись незмінними (константами). Тому перед побудовою математичної моделі або застосуванням вже відомих математичних методів і моделей, необхідно розчленити об’єкт дослідження на елементи (компоненти), які характеризують найістотніші властивості об’єкта (процесу, явища). Потім кожному елементові утвореної у такий спосіб системи ставлять у відповідність певну кількісну величину. Внаслідок цього одержують абстрактну систему взаємопов’язаних елементів (компонентів), яка представляє ту реальну систему або об’єкт, котру досліджують. Процес (процедуру) побудови такої абстрактної спрощеної системи називають математичною формалізацією реального об’єкта, явища або системи. Побудована абстрактна система і є моделлю реальної системи. Однак це ще не математична модель в повному розумінні цього поняття. Необхідно встановити зв’язки між окремими елементами системи та між елементами системи і середовищем, в якому функціонує ця система. На етапі встановлення кількісних зв’язків і співвідношень між елементами побудованої системи (моделі) застосування математичних методів можна вважати традиційним. Широко використовують методи математичної статистики і побудови емпіричних формул, менше — комбінаторний і логічний аналіз. Статистичний аналіз давно застосовують майже в усіх описових науках, а тим паче — в біологічних та екологічних дослідженнях.
Суть імітаційного моделювання полягає в тому, що модель реальної системи будують спочатку словесно (вербально), концептуально, а потім для формалізації і математичного опису моделі залучають усі існуючі методи, включаючи методи інформатики, системного аналізу і математичного моделювання. Основною умовою побудови імітаційної моделі є застосування сучасних персональних комп’ютерів (ПК). Побудова імітаційної моделі не вимагає обов’язкового повного (строгого) математичного опису реальної системи чи процесу. У такому разі більше значення має різна додаткова інформація про реальний об’єкт дослідження, яку одержують унаслідок його вивчення за допомогою лабораторних та інших нематематичних методів і яку не можна передати точними математичними виразами або рівняннями. Саме неповнота математичного опису реального об’єкта зумовлює принципову відмінність імітаційної моделі від математичної моделі в традиційному розумінні. До моделювання залучається інтуїція науковця, дослідника чи спеціаліста, які працюють в діалоговому режимі з персональним комп’ютером. Отже, поступаючись у точності математичного опису елементів реальної системи, імітаційна модель більш інформативна та має ширше практичне застосування. З огляду на це твердження будь-яку математичну модель, що успішно використовується для розв’язання складних практичних завдань і проблем, можна називати імітаційною моделлю (ІМ), або імітаційною математичною моделлю (ІММ).
Використовують багато способів і прийомів математичного моделювання, при цьому в назві математичної моделі часто відображають назву математичного методу, застосованого при її побудові, наприклад, розрізняють моделі дискретні й неперервні, детерміністичні й стохастичні, аналогові й символічні та ін.
Класифікують моделі за характером використання початкової інформації, типом (видом) математичного методу, ступенем адекватності моделі і реальної системи, рівнем конкретизації об’єкта, за характером опису ними просторових характеристик (властивостей) реальної системи.
Моделями із зосередженими значеннями (параметрами), або точковими, називають моделі, в яких просторові характеристики природної системи не враховуються, тобто ці моделі описують такі характеристики (параметри), які залежать тільки від часу. Моделями з розподіленими значеннями (параметрами) називають моделі, в яких враховують зміни характеристик не тільки в часі, а й у просторі, тобто шукані характеристики (параметри) залежать як від часу, так і від точки простору. Для теоретичних досліджень найперспективнішими є детерміновані моделі з розподіленими параметрами. Однак варто ширше реалізовувати можливості простих концептуальних моделей, особливо тих, що фізично обґрунтовані. Прості моделі в практичному застосуванні є мобільнішими, хоча вони й не здатні відтворювати весь можливий спектр природних умов.
Більшість математичних моделей, що використовуються в різних галузях природничих і суспільних наук, можна поділити за критерієм використовуваних методів ще на такі великі класи: математичні, або аналітичні, моделі і імітаційні, або системні, моделі.
Вважають, що в математичних моделях використовують переважно аналітичні методи, зокрема апарат сучасного математичного аналізу та інших розділів математики, а в імітаційних моделях застосування засобів інформатики і сучасних ПК є основним і принципово обов’язковим елементом дослідження. На рис. 1.1 схематично зображено класифікацію математичних моделей (В. Федоров, Т. Гільманов).

Чітко розмежовувати види моделювання складно, оскільки в математичних (аналітичних) моделях часто доводиться використовувати чисельний експеримент із застосуванням ЕОМ, а в імітаційних (системних) моделях неможливо обійтися без аналітичного розв’язування поставленої задачі (на рис. 1.1 ці зв’язки показано пунктирними стрілками). Тому протиставляти математичне та імітаційне моделювання не можна. Навпаки, конкретні математичні моделі, в т. ч. й аналітичні, є основою (базою), на якій можна успішно побудувати імітаційну модель, спроможну допомогти під час дослідження складних екологічних систем з метою виявлення найзагальніших і найважливіших закономірностей розвитку організмів, популяцій та угруповань як основних елементів цих систем. Тому, коли будь-яка математична модель використовується для чисельного (імітаційного) експерименту або для відтворення і прогнозування реальних явищ, ситуацій, процесів або систем, йдеться про успішне використання імітаційного математичного моделювання в практиці наукових досліджень.
Як правило, під час дослідження конкретного процесу або явища природи можна побудувати кілька математичних (імітаційних) моделей. Кожна з них матиме певний теоретичний рівень, що характеризує її узагальненість та адекватність реальній системі, яку вона описує. Цей рівень передусім залежить від знань про об’єкт, процес або явище, для яких розробляють модель, та від рівня кваліфікації фахівця (математика, фізика, біолога) — розробника математичної моделі. Крім цього, на рівень імітаційного математичного моделювання значною мірою впливають потужність ПК та його математичне забезпечення. Моделі не можуть бути одночасно і достатньо адекватними (реалістичними), і загальними (теоретичними). З найзагальніших математичних моделей, що описують широкий клас процесів і явищ, можна вивести (одержати) часткові математичні моделі, які описують уже конкретніші, вужчі сукупності явищ, що характеризуються додатковими зв’язками. У такий спосіб будують моделі різних рівнів, причому кожна модель нижчого рівня повинна бути погоджена з моделлю вищого рівня. Класичним прикладом математичних моделей високого рівня є закони збереження в механіці й фізиці: закон збереження маси, закон збереження енергії, закон збереження кількості руху та ін.
Процес побудови математичної чи імітаційної моделі не може бути чітко формалізованим та алгоритмізованим. Він завжди містить як елементи формалізації, відомих правил, законів і алгоритмів, так і елементи творчості й інтуїції, а отже, створює нові правила, підходи, алгоритми.
Найзагальнішим правилом побудови імітаційної математичної моделі є процес послідовних наближень (спосіб ітерацій), який полягає в тому, що при розробленні моделі на кожному етапі її уточнення враховують результати розрахунків за попереднім варіантом моделі, які порівнюють як з уже накопиченою інформацією або відомими даними експериментів чи натурних спостережень, так і з новою інформацією та даними про моделюючу систему. В процесі порівняння результатів моделювання з даними натурних спостережень або лабораторних експериментів визначають числові значення параметрів, що входять до математичних моделей і мають певний фізичний зміст (у статистичних моделях такі параметри не мають фізичного змісту — тобто здійснюють верифікацію, або калібровку, математичної (імітаційної) моделі. Завдання полягає в тому, щоб визначити (дібрати) числові значення невідомих параметрів моделі так, щоб різниця між даними натурних спостережень і розрахунковими значеннями була мінімальною. Модель вважають верифікованою (каліброваною) в тому разі, коли результати розрахунків двох послідовних наближень збігаються із заданою точністю. Вважають, що найвагоміше значення для екології мають два види знакових моделей: математичні й концептуальні (Федоров, 1980).
Концептуальна модель є формалізованим, систематизованим і строго обґрунтованим варіантом традиційного словесного (вербального) опису реальної системи чи об’єкта (явища, процесу). Таке уявлення складається з науково обґрунтованого тексту, який обов’язково супроводжується схемами, графіками, таблицями та іншим ілюстративним матеріалом, в якому використовують певні знаки, букви і символи. Термін «концептуальна модель» наголошує, що основне призначення цієї моделі — вираження чіткої концепції, підходу, обґрунтування й узагальнення всіх знань, уявлень і даних натурних спостережень про реальну систему, яку вивчають і для якої планують побудувати математичну модель. Наприклад, у межах енергетичної концепції відповідні концептуальні моделі набувають форми блок-схем трофічних зв’язків і потоків речовини в екосистемі або біоценозі.
Перевагами концептуальних моделей є системність, інформативність, універсальність, обґрунтованість, узагальненість та ін. Однак вони мають також і недоліки, основним з яких є неоднозначність трактування певних положень і неможливість опису процесів у динаміці. Тому найціннішими і найефективнішими є математичні моделі.